Enter a word or phrase in any language 👆
Language:
Translation and analysis of words by ChatGPT artificial intelligence
On this page you can get a detailed analysis of a word or phrase, produced by the best artificial intelligence technology to date:
- how the word is used
- frequency of use
- it is used more often in oral or written speech
- word translation options
- usage examples (several phrases with translation)
- etymology
What (who) is Линии второго порядка - definition
Кривые второго порядка; Кривая 2-го порядка; Фокальный параметр; Фокальная ось; Фокальная хорда; Невырожденная квадрика; Линии второго порядка
Линии второго порядка
плоские линии, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени
a11x2 + a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a11 = 0. (*)
Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую Л. в. п. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса начала и поворота системы координат на некоторый угол к одному из 9 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс линий. Именно,
нераспадающиеся линии:
y2 = 2px - параболы,
распадающиеся линии:
- пары пересекающихся прямых,
- пары мнимых пересекающихся прямых,
x2 - а2 = 0 - пары параллельных прямых,
x2 + а2 = 0 - пары мнимых параллельных прямых,
x2 = 0 - пары совпадающих параллельных прямых.
Исследование вида Л. в. п. может быть проведено без приведения общего уравнения к каноническому виду. Это достигается совместным рассмотрением значений т. н. основных инвариантов Л. в. п. - выражений, составленных из коэффициентов уравнения (*), значения которых не меняются при параллельном переносе и повороте системы координат:
S = a11 + a22, (aij = aji).
Так, например, эллипсы, как нераспадающиеся линии, характеризуются тем, что для них Δ ≠ 0; положительное значение инварианта δ выделяет эллипсы среди других типов нераспадающихся линий (для гипербол δ < 0, для парабол δ = 0). Различить случаи действительного или мнимого эллипсов позволяет сопоставление знаков инвариантов Δ и S: если Δ и S разных знаков, эллипс действительный; эллипс мнимый, если Δ и S одного знака.
Три основные инварианта Δ, δ и S определяют Л. в. п. (кроме случая параллельных прямых) с точностью до движения (См. Движение) евклидовой плоскости: если соответствующие инварианты Δ, δ и S двух линий равны, то такие линии могут быть совмещены движением. Иными словами, эти линии эквивалентны по отношению к группе движений плоскости (метрически эквивалентны).
Существуют классификации Л. в. п. с точки зрения др. групп преобразований. Так, относительно более общей, чем группа движений, - группы аффинных преобразований (См. Аффинные преобразования) - эквивалентными являются любые две линии, определяемые уравнениями одного канонического вида. Например, две подобные Л. в. п. (см. Подобие) считаются эквивалентными. Связи между различными аффинными классами Л. в. п. позволяет установить классификация с точки зрения проективной геометрии (См. Проективная геометрия), в которой бесконечно удалённые элементы не играют особой роли. Действительные нераспадающиеся Л. в. п.: эллипсы, гиперболы и параболы образуют один проективный класс - класс действительных овальных линий (овалов). Действительная овальная линия является эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, как она расположена относительно бесконечно удалённой прямой: эллипс пересекает несобственную прямую в двух мнимых точках, гипербола - в двух различных действительных точках, парабола касается несобственной прямой; существуют проективные преобразования, переводящие эти линии одна в другую. Имеется всего 5 проективных классов эквивалентности Л. в. п. Именно,
невырождающиеся линии
(x1, x2, x3 - однородные координаты):
x12 + x22 - x32 = 0 - действительный овал,
x12 + x22 + x32 = 0 - мнимый овал,
вырождающиеся линии:
x12 - x22 = 0 - пара действительных прямых,
x12 + x22 = 0 - пара мнимых прямых,
x12 = 0 - пара совпадающих действительных прямых.
Кроме аналитического способа определения Л. в. п., то есть заданием уравнения, существуют и др. способы. Например, Эллипс, Гипербола и Парабола могут быть получены как сечения конуса плоскостью - Конические сечения.
Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Ефимов Н. В., Краткий курс аналитической геометрии, 5 изд., М., 1960.
А. Б. Иванов.
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
плоские линии, прямоугольные координаты точек которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени. Среди линий второго порядка - эллипсы (в частности, окружности), гиперболы, параболы.
Кривая второго порядка
Кривая второго порядка — геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
Wikipedia
Кривая второго порядка
Кривая второго порядка — геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля. Таким образом кривая второго порядка является частным случаем алгебраической кривой.
